Come si può modellizzare il decadimento radioattivo usando delle monete da 1 centesimo?

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Quando gli scienziati hanno imparato a misurare il decadimento radioattivo hanno potuto determinare l’età di rocce, minerali, fossili e reperti archeologici.

La tecnica utilizzata si chiama datazione radiometrica e si basa sul tasso costante di decadimento che si verifica negli isotopi radioattivi di elementi come l’uranio-238, il torio-232, il potassio-40 e il carbonio-14.

Un modo per esprimere la velocità del decadimento radioattivo di un determinato isotopo è la sua emivita o tempo di dimezzamento, che è la quantità di tempo necessaria affinché decada la metà dei nuclei dell’isotopo radioattivo presenti all’inizio.

Comprendere come funziona il decadimento radioattivo e come la datazione radiometrica venga utilizzata per datare campioni geologici o reperti archeologici  non è una cosa così semplice per i ragazzi, ma l’attività che sto per raccontarvi fornisce la possibilità di modellizzare questo processo e di comprenderlo senza difficoltà.

Invece di far studiare la curva del decadimento radioattivo sul libro di testo e far poi applicare quanto appreso facendo gli esercizi in fondo al capitolo, ho ribaltato l’approccio didattico e realizzato un’attività di inquiry strutturato in cui i ragazzi hanno prima modellizzato e poi applicato il processo del decadimento radioattivo utilizzando cento monetine da 1 centesimo. 

Al momento in cui abbiamo svolto l’attività, i ragazzi (terza liceo scientifico) possedevano già alcune conoscenze di base sulla radioattività:

  • Il decadimento degli isotopi radioattivi è un processo che trasforma il nucleo di un elemento nel nucleo di un elemento diverso, a causa di un’instabilità interna del nucleo stesso, dovuta a uno squilibrio tra il numero di protoni e neutroni o all’eccessiva abbondanza di entrambi;
  • la maggior parte degli elementi radioattivi non si trasforma direttamente in un nucleo stabile, ma passa attraverso una serie di decadimenti successivi fino a raggiungere un nuclide derivato stabile;
  • l’isotopo che va incontro a decadimento radioattivo viene chiamato isotopo padre mentre il nuovo isotopo che si forma viene chiamato isotopo figlio, l’isotopo figlio può essere stabile o decadere a sua volta;
  • in un campione radioattivo, la trasformazione di tutti i nuclei instabili in nuclei stabili è un processo che richiede un certo periodo di tempo ed è del tutto casuale, per cui non è possibile prevedere in alcun modo il momento esatto in cui si verificherà.

Per modellizzare il decadimento di un isotopo radioattivo si può utilizzare il lancio delle monete. Lanciando una moneta, infatti, si ha il 50% di probabilità che esca testa e il 50% di probabilità che esca croce. 

Ogni lancio è un evento indipendente perché il risultato di un particolare lancio non è influenzato da ciò che è accaduto nei lanci precedenti.

Come si può modellizzare IL DECADIMENTO RADIOATTIVO usando delle monete da 1 centesimo?

Per creare questo modello servono materiali che si possono reperire facilmente:

  • una scatolina con con coperchio 
  • 100 monetine da 1 centesimo
  • carta millimetrata o a quadretti
  • penna o matita

Procedimento

  1. Per prima cosa abbiamo contato i centesimi per verificare che fossero effettivamente 100 e abbiamo unito un paio di banchi per avere una superficie libera abbastanza grande per l’attività (anche la cattedra andrebbe benissimo). 
  2. Ho detto ai ragazzi che avremmo eseguito la prova (trial) per tre volte. 
  3. Tenendo ben chiuso il coperchio, uno studente ha agitato la scatola con le monetine per diversi secondi per mescolarle bene, quindi ha rimosso il coperchio e le ha lanciate sui banchi preparati per l’esperimento.
  1. Altri due studenti hanno contato e raccolto  tutti i centesimi atterrati con la testa rivolta verso l’alto e li hanno disposti su un altro banco creando una pila.
  1. Tutti i ragazzi hanno annotato in una tabella il numero delle monete rimosse nella riga corrispondente al lancio numero 1 e al trial n.1.
  2. I centesimi rimasti sul banco sono stati raccolti, rimessi nella scatola e mescolati nuovamente preparandoli per un nuovo lancio.
  3. Tutta la procedura è stata ripetuta fino a che tutti i centesimi sono stati rimossi e disposti in pile affiancate sul banco vuoto. Se in un lancio nessun centesimo atterrava con la testa rivolta verso l’alto, si ripeteva l’operazione lasciando vuota la riga corrispondente nella tabella. 

Il trial è stato ripetuto altre due volte coinvolgendo ogni volta studenti diversi e in ogni trial tutti i dati sono stati registrati in tabella. 

Al termine del terzo trial, abbiamo calcolato la media dei valori ottenuti in ciascun lancio e con questi valori medi  i  ragazzi hanno costruito un grafico. Sull’asse delle x del grafico hanno inserito il numero del lancio e sull’asse delle y il numero di monete rimosse ad ogni lancio.

Una volta realizzato il grafico, a piccoli gruppi hanno fatto alcune riflessioni guidate su quanto osservato.

1. Quale percentuale/frazione delle 100 monete originali è rimasta nella scatola dopo il primo lancio? E dopo il secondo lancio? E dopo il terzo? (Approssimativamente il 50%; 25%; 12,5%; 1⁄2, 1⁄4, 1/8)
2. In che modo queste percentuali/frazioni sono correlate alla probabilità che ogni centesimo esca con la testa rivolta verso l’alto? (La probabilità che ciascun centesimo atterri con l’1 rivolto verso l’alto era di 1:2 per ciascun lancio. La metà dei restanti centesimi atterrerà a testa in giù in ogni lancio successivo. Le frazioni dimezzano ad ogni lancio.)

3. In termini di decadimento radioattivo, cosa rappresentano i centesimi rimasti nella scatola dopo ogni lancio? E le monete che sono state rimosse? E il trial? (Rappresentano gli isotopi radioattivi che non sono decaduti, gli isotopi padri rimanenti. Gli isotopi figli sono le monete rimosse. Il trial simula il processo del decadimento radioattivo.)

4. Secondo te, sulla base dei dati raccolti, dopo quattro lanci, qual è il rapporto isotopo padre/isotopo figlio? (1:16)
5. Perché il trial è stato ripetuto tre volte e nella costruzione del grafico sono stati utilizzati i valori medi? (Per ridurre gli effetti di risultati anomali e rendere il grafico più uniforme.)

Per riflettere: cosa è successo? (EXPLAIN)

La probabilità che per ogni centesimo esca testa ad ogni lancio è sempre del 50 %. Una volta che un centesimo cade con la testa rivolta verso l’alto questo viene rimosso. Quindi, dopo il primo lancio, rimane circa la metà dei centesimi. Ad ogni lancio, restano sempre meno centesimi. Dopo il primo lancio, rimangono circa la metà dei centesimi originali; dopo il secondo, circa 1/4; poi 1/8, 1/16 e così via. Questi numeri possono essere scritti in termini di potenze di 1/2: (1/2)1, (1/2)2, (1/2)3 e (1/2)4

Questo tipo di pattern, in cui una quantità diminuisce ripetutamente di una frazione fissa (in questo caso 1/2), è noto come decadimento esponenziale

Durante il decadimento di un isotopo radioattivo, ad un certo punto i due isotopi, padre e figlio, saranno presenti in uguale quantità (cioè in rapporto di 1:1). Quando ciò si verifica possiamo dedurre che è trascorso un intervallo di tempo chiamato tempo di dimezzamento o emivita dell’isotopo radioattivo.

Ogni volta che si lanciano i centesimi rimanenti, circa la metà viene rimossa. Il tempo necessario per rimuovere la metà dei centesimi rimanenti corrisponde, quindi, al tempo di dimezzamento o emivita dell’isotopo radioattivo. 

In questo modello, l’emivita dei centesimi è di circa un lancio.

Quindi: come per il decadimento radioattivo, il lancio delle monete è un processo imprevedibile e casuale. Raramente esattamente la metà delle monete decade al primo lancio. Tuttavia, se si ripete il primo lancio molte volte, il numero medio di monete che decadono si avvicinerà alla metà.

In questo modello, la rimozione di un centesimo corrisponde al decadimento di un nucleo radioattivo (isotopo genitore). La possibilità che un particolare nucleo radioattivo in un campione di nuclei identici decada ogni secondo è la stessa per ogni secondo che passa, proprio come la possibilità che per un centesimo esca testa è la stessa per ogni lancio (1/2).

Minore è la possibilità che il nucleo di un isotopo decada, maggiore è l’emivita (tempo necessario per il decadimento di metà del campione) di quel particolare isotopo radioattivo. Per l’uranio 238, la possibilità di decadimento è piccola: la sua emivita è, infatti, di 4,5 miliardi di anni. Per il radon 217, la possibilità di decadimento, invece, è grande e la sua emivita è solo di un millesimo di secondo.

Applicare i concetti (ELABORATE):

  1. Supponi che l’isotopo radioattivo che hai modellizzato abbia un’emivita di 713 milioni di anni. Quanto è vecchio il campione che lo contiene se sono rimasti 1/32 degli isotopi originali? (3565 milioni di anni)
  2. Identifica almeno 3 modi in cui questo modello differisce dal processo reale di decadimento radioattivo. (La durata dell’emivita è molto piccola, le misurazioni sono molto più semplici, i materiali sono molto più sicuri, i numeri sono più piccoli, la quantità di isotopi radioattivi non raggiungerà mai lo zero, mentre il numero delle monete con l’1 rivolto verso l’alto sì).
  3. Alcune ossa fossili contengono 1/8 della loro quantità originale di carbonio-14. Sapendo che il C-14 ha un’emivita di 5730 anni, quante emivite sono passate? Quanto sono vecchie quelle ossa? (Sono trascorse 3 emivite. Le ossa hanno 17190 anni, 3X5730.)

Che ne pensate? Came si potrebbe migliorare questa attività? Fatemi sapere se provate a farla anche voi!

Alla prossima settimana! 🙂

  2 comments for “Come si può modellizzare il decadimento radioattivo usando delle monete da 1 centesimo?

  1. 5 Marzo 2022 at 13:52

    Bravissima, bellissimo lavoro. Se potessi ancora insegnare te lo copierei.
    Recentemente ho ripensato alla cosa mentre discutevo con una collega che aveva trattato il problema al biennio. Per questo sono stato subito curioso di vedere come avessi potuto trovare una simulazione, cosa avessi escogitato, convinto che solo con un programma al computer o excel con la funzione randomize si potesse fare. Infatti, a pensarci bene, la questione dell’indipendenza degli eventi di decadimento nasconde un aspetto paradossale, una stranezza della natura impossibile da simulare con sistemi macroscopici. Un paradosso che va risolto in qualche maniera. Per esempio non esiste nessuna “reazione chimica di ordine zero”, tranne, ci facevano dire all’università, appunto, il decadimento radioattivo. Da quando ho cominciato in tarda età a ripensare con la mia testa ad alcune delle tante cose assimilate durante gli anni dello studio al fine di superare esami, e a cercare di restituire nell’insegnamento questa diversa modalità di approccio al conoscere, ho ripensato varie volte a questo paradosso, senza arrivare mai ad una soluzione. Per cui me lo sono sempre tenuto per me. Qualsiasi altra cosa che “decade” (irreversibilmente), in natura, lo fa gradualmente e passa attraverso un qualche tipo di invecchiamento. Il che significa che l’insieme statistico non è indipendente dal tempo: ha una sua “storia”. perfino una reazione in provetta “invecchia” nell’andare verso l’equilibrio (e poi smette di evolvere). Ossia, per tutti gli altri fenomeni naturali, inclusi quelli biologici, otterresti la stessa legge esponenziale, ricavata nel tuo decadimento simulato, solo conservando lo stesso insieme durante tutto l’esperimento (a parte i “deceduti”, che devi necessariamente togliere). Insieme, nel quale ciascuna delle entità abbia una sua identità. Per ripetere la prova altre due volte dovresti prendere 100 entità NUOVE, equivalenti se non uguali alle prime al tempo t = 0, ogni volta. Per gli atomi radioattivi, invece, non esiste un tempo t = 0. Non esistono atomi “giovani” e atomi “vecchi”. Puoi sostituire atomi osservati da tanto tempo ancora intatti con atomi “nuovi”, ossia appena prodotti a loro volta da un decadimento precedente, così come potresti sostituire le monetine rimaste dopo 2 lanci con monetine nuove di zecca, e farlo su altri tre trial, senza notare nulla di diverso nella media dei secondi tre trial.
    Potresti gettare solo venti monete delle tue nella tua scuola, farne gettare altre trenta in Belgio e una per volta, per le altre 50, far fare 50 lanci singoli a 50 studenti tuoi nella loro casa casa, raccogliere i dati, e non cambierebbe nulla. Al di là della realtà sperimentale e dalle sue premesse, ben rispecchiate dal tuo esperimento, e della descrizione matematica, questa indipendenza statistica e indipendenza dal tempo, per me, da vecchio meccanicista e positivista reo confesso, è misteriosa, e va spiegata. Quel “tipo” di probabilità va giustificato.
    Mentre leggevo Mario Ageno, “le origini dell’irreversibilità”, due mesi fa, ho avuto una specie di illuminazione. Primo, il sistema atomo deve essere abbastanza complesso e non elementare. Questa complessità deve però non essere tale da consentire una benché minima differenza tra un atomo e l’altro. Così come tutte le molecole di paraidrogeno nel loro ground state sono uguali, nonostante siano “composte” da varie particelle. Però non deve evolvere, perché in tal caso si comporterebbe come una cellula di lievito o un neurone che ha una sua “età” ed una sua storia limitata a causa di mutamenti interni, nel tempo. Il paraidrogeno liquido non evolve, ma se si alza la temperatura si trasforma in orto-idrogeno. Segno che le forze che stabilizzano il paraidrogeno sono di un ordine di grandezza comparabile con quello dell’agitazione termica. Per i nuclidi radioattivi invece no, la temperatura non ha alcuna influenza sul loro decadimento. Ciò potrebbe significare semplicemente che le forze in gioco nella loro struttura complessa siano oltre che quantizzate, molto maggiore a quelle delle collisioni termiche ordinarie. Però sappiamo che diversi nuclei, anche non radioattivi, subiscono decadimenti indotti da urti di neutroni o di raggi gamma. Allora, come deve essere fatta una struttura che è sempre identica e che non evolve (se non nel momento che decade)? Per non evolvere deve essere un sistema all’equilibrio; per decadere, il sistema deve avere fluttuazioni. L’entità delle fluttuazioni (ovviamente quantistiche) determina la lifetime di quell’atomo. Credo che non si possano essere altre spiegazioni. L’unica aspetto da aggiungere è se quelle fluttuazioni siano irriducibili ad altre ipotetiche entità che compongono la realtà o meno.

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